Superpositionsprincipen. Potentiell energi för interaktion mellan laddningar. Energin för interaktion av elektriska laddningar är lika med energin för interaktion av ett system med tre laddningar

Potentiell energi för interaktion av ett system av punktladdningar och total elektrostatisk energi för ett system av laddningar

Animation

Beskrivning

Den potentiella energin för interaktion mellan två punktladdningar q 1 och q 2 belägna i ett vakuum på ett avstånd r 12 från varandra kan beräknas genom:

(1)

Betrakta ett system som består av N punktladdningar: q 1, q 2,..., q n.

Interaktionsenergin för ett sådant system är lika med summan av interaktionsenergierna för laddningar tagna i par:

. (2)

I formel 2 utförs summeringen över indexen i och k (i № k). Båda indexen sträcker sig, oberoende av varandra, från 0 till N. Termer för vilka värdet av index i sammanfaller med värdet av index k tas inte med i beräkningen. Koefficienten 1/2 ställs in eftersom man vid summering tar hänsyn till den potentiella energin för varje laddningspar två gånger. Formel (2) kan representeras som:

, (3)

där j i är potentialen vid den punkt där den i:te laddningen är belägen, skapad av alla andra laddningar:

.

Interaktionsenergin för ett system av punktladdningar, beräknad med formel (3), kan vara antingen positiv eller negativ. Till exempel är den negativ för två punktladdningar med motsatt tecken.

Formel (3) bestämmer inte den totala elektrostatiska energin för ett system av punktladdningar, utan endast deras inbördes potentiella energi. Varje laddning qi, tagen separat, har elektrisk energi. Det kallas laddningens egen energi och representerar energin för ömsesidigt avstötning av oändligt små delar i vilka den kan brytas ned mentalt. Denna energi beaktas inte i formel (3). Endast det arbete som lagts ned på att föra åtalspunkterna q i närmare varandra beaktas, men inte på deras bildande.

Den totala elektrostatiska energin i ett system av punktladdningar tar också hänsyn till det arbete som krävs för att bilda laddningar qi från oändligt små delar av elektricitet som överförs från oändligheten. Den totala elektrostatiska energin i ett laddningssystem är alltid positiv. Detta är lätt att visa med exemplet med en laddad ledare. Om vi ​​betraktar en laddad ledare som ett system av punktladdningar och tar hänsyn till samma potentiella värde vid vilken punkt som helst på ledaren, får vi från formel (3):

Denna formel ger den totala energin för en laddad ledare, som alltid är positiv (för q>0, j>0, därför W>0, om q<0 , то j <0 , но W>0 ).

Timing egenskaper

Initieringstid (logga till -10 till 3);

Livstid (log tc från -10 till 15);

Nedbrytningstid (log td från -10 till 3);

Tid för optimal utveckling (log tk från -7 till 2).

Diagram:

Tekniska implementeringar av effekten

Teknisk implementering av effekten

För att observera interaktionsenergin hos ett laddningssystem räcker det att hänga två ljusledande bollar på strängar på ett avstånd av cirka 5 cm från varandra och ladda dem med en kam. De kommer att avvika, det vill säga de kommer att öka sin potentiella energi i gravitationsfältet, vilket görs på grund av energin i deras elektrostatiska interaktion.

Tillämpa en effekt

Effekten är så grundläggande att det utan överdrift kan anses tillämpas på all elektrisk och elektronisk utrustning som använder laddningslagringsenheter, det vill säga kondensatorer.

Litteratur

1. Savelyev I.V. Kurs i allmän fysik - M.: Nauka, 1988. - T.2. - P.24-25.

2. Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik - M.: Nauka, 1977. - T.3. El.- S.117-118.

Nyckelord

• elektrisk laddning
• punktavgift
• potential
• potentiell interaktionsenergi
• total elektrisk energi

Avsnitt inom naturvetenskap:

(Kort teoretisk information)

Interaktionsenergi för punktladdningar

Interaktionsenergin för ett system av punktladdningar är lika med externa krafters arbete för att skapa detta system (se fig. 1) genom den långsamma (kvasistatiska) rörelsen av laddningar från punkter oändligt långt från varandra till givna positioner. Denna energi beror endast på den slutliga konfigurationen av systemet, men inte på det sätt på vilket detta system skapades.

Baserat på denna definition kan vi erhålla följande formel för interaktionsenergin för två punktladdningar placerade i ett vakuum på avstånd r 12 ifrån varandra:

. (1)

Om ett system innehåller tre stationära punktladdningar, är energin för deras interaktion lika med summan av energierna för alla parinteraktioner:

Var r 12 – avstånd mellan första och andra, r 13 - mellan första och tredje, r 23 – mellan andra och tredje åtalspunkten. Systemets elektriska interaktionsenergi beräknas på liknande sätt från N punktavgifter:

Till exempel, för ett system med 4 avgifter, innehåller formel (2) 6 termer.

Elektrisk energi hos laddade ledare

Den elektriska energin hos en isolerad laddad ledare är lika med det arbete som måste göras för att applicera en given laddning på ledaren genom att långsamt flytta den i oändliga portioner från oändligheten, där dessa delar av laddningen till en början inte interagerade. Den elektriska energin för en ensam ledare kan beräknas med hjälp av formeln

, (3)

Var q– laddning av ledaren,  – dess potential. I synnerhet om en laddad ledare har formen av en boll och är placerad i ett vakuum, då dess potential
och som följer av (3) är den elektriska energin lika med

,

Var R– bollens radie, q- dess laddning.

Den elektriska energin hos flera laddade ledare bestäms på liknande sätt - det är lika med externa krafters arbete att applicera dessa laddningar på ledarna. För elenergisystem från N laddade ledare kan vi få formeln:

, (4)

Var Och - laddning och potential - :e konduktören. Observera att formlerna (3), (4) också är giltiga i de fall då de laddade ledarna inte befinner sig i ett vakuum, utan i ett isotropiskt neutralt dielektrikum.

Med hjälp av (4) beräknar vi det elektriska energin hos en laddad kondensator. Betecknar laddningen av den positiva plattan q, dess potential  1 och potentialen för den negativa plattan  2, får vi:

,

Var
- spänning över kondensatorn. Med tanke på att
, formeln för kondensatorenergin kan också representeras i formen

, (5)

Var C– kondensatorns kapacitans.

Egen elektrisk energi och interaktionsenergi

Låt oss betrakta den elektriska energin hos två ledande bollar, vars radier är R 1 , R 2 och åtalspunkterna q 1 , q 2. Vi kommer att anta att kulorna är placerade i ett vakuum på ett stort avstånd jämfört med deras radier l från varandra. I det här fallet är avståndet från mitten av en boll till valfri punkt på ytan av den andra ungefär lika med l och bollarnas potentialer kan uttryckas med formlerna:

,
.

Vi hittar den elektriska energin i systemet med hjälp av (4):

.

Den första termen i den resulterande formeln är energin för interaktion mellan laddningar som finns på den första bollen. Denna energi kallas sin egen elektriska energi (av den första kulan). På samma sätt är den andra termen den andra kulans egen elektriska energi. Den sista termen är energin för växelverkan mellan laddningarna från den första bollen och laddningarna från den andra.

På
interaktionens elektriska energi är betydligt mindre än summan av kulornas självenergier, men när avståndet mellan kulorna ändras förblir självenergierna praktiskt taget konstanta och förändringen i den totala elektriska energin är ungefär lika med förändring i interaktionsenergin. Denna slutsats gäller inte bara för ledande bollar, utan också för laddade kroppar av godtycklig form placerade på lång distans från varandra: ökningen i systemets elektriska energi är lika med ökningen i interaktionsenergin för de laddade kropparna i systemet:
. Energi av interaktion
kroppar på avstånd från varandra beror inte på deras form och bestäms av formel (2).

När formlerna (1), (2) härleddes, betraktades var och en av punktladdningarna som något helt och oföränderligt. Endast det arbete som gjordes när sådana konstanta avgifter konvergerade togs i beaktande, men inte på deras bildande. Tvärtom, när formlerna (3), (4) härleddes, togs även hänsyn till det arbete som utfördes vid tillämpningen av avgifter q i till var och en av systemets kroppar genom att överföra elektricitet i oändligt små delar från oändligt avlägsna punkter. Därför bestämmer formlerna (3), (4) den totala elektriska energin för laddningssystemet och formlerna (1), (2) endast den elektriska energin för interaktionen av punktladdningar.

Volumetrisk elektrisk fälts energitäthet

Den elektriska energin hos en kondensator med parallella plattor kan uttryckas i termer av fältstyrkan mellan dess plattor:

,

Var
- volym av utrymme som upptas av fältet, S– beläggningens yta, d– avståndet mellan dem. Det visar sig att den elektriska energin i ett godtyckligt system av laddade ledare och dielektrika kan uttryckas genom spänning:

, (5)

,

och integration utförs över hela det utrymme som upptas av fältet (det antas att dielektrikumet är isotropt och
). Magnitud w representerar elektrisk energi per volymenhet. Formen av formel (5) ger anledning att anta att elektrisk energi inte finns i interagerande laddningar, utan i deras elektriska fält som fyller utrymmet. Inom ramen för elektrostatiken kan detta antagande inte verifieras experimentellt eller teoretiskt underbyggas, men hänsyn till alternerande elektriska och magnetiska fält gör det möjligt att verifiera riktigheten av denna fälttolkning av formel (5).

När en laddning tas bort till oändlighet

r2 = ∞ U=U2 = 0,

potentiell laddningsenergi q2,

laddning placerad på fältet q1

på distans r

17. Potential. Fältpotential för en punktladdning.

Potentiell laddningsenergi q i fält n kostnader qi

Attityd U/q beror inte på avgiftsbeloppet q och är energiegenskaper elektrostatiskt fält, kallat potential.

Potentialen vid en punkt i ett elektrostatiskt fält är en fysisk storhet numeriskt lika med den potentiella energin för en enda positiv laddning placerad vid denna punkt. Detta är en skalär mängd.

I SI φ mätt i volt [V = J/C]

1 V är potentialen för en punkt i fältet där en laddning på 1 C har en energi på 1 J.

E - [N/C = N m/C m = (J/C) (1/m) = V/m].

Punktladdningsfältpotential

Potential är en mer praktisk fysisk storhet jämfört med spänning E

Potentiell energi för en laddning i fältet för ett laddningssystem. Superpositionsprincip för potentialer.

Punktladdningssystem: q1,q2, …qn.

Avståndet från varje laddning till en viss punkt i rymden: r1,r2, …rn.

Arbete utfört på laddningen q det elektriska fältet för de återstående laddningarna när det rör sig från en punkt till en annan, är lika med den algebraiska summan av det arbete som orsakas av var och en av laddningarna separat

ri 1 – avstånd från laddning qi till den ursprungliga laddningspositionen q,

ri 2 – avstånd från laddning qi till det slutliga laddningsläget q.

ri 2 → ∞

Möjlig skillnad. Ekvipotentiella ytor

När du flyttar en laddning q 0+ i ett elektrostatiskt fält från punkt 1 till punkt 2

r2 = ∞ → U 2 = U∞ = 0

Potential– en fysisk storhet som bestäms av arbetet med att flytta en positiv enhetsladdning från en given punkt till oändligheten.

När de talar om potential menar de potentialskillnaden ∆ φ mellan punkten i fråga och punkten potential φ som tas som 0.

Potential φ har ingen fysisk betydelse vid en given punkt, eftersom det är omöjligt att bestämma arbetet vid en given punkt.

Ekvipotentiella ytor (ytor med lika potential)

1) potential på alla punkter φ har samma betydelse

2) vektor för elektrisk fältstyrka E alltid normala till ekvipotentiella ytor,

3) ∆φ mellan två godtyckliga ekvipotentiella ytor är densamma

– För en poängavgift

φ = konst.

r = konst.

För ett enhetligt fält är ekvipotentiella ytor parallella linjer.

Arbetet som görs för att flytta en laddning längs en ekvipotentialyta är noll.

därför att φ 1 = φ 2.

20. Spänningsvektorkoppling E och potentiella skillnader.

Arbeta med att flytta en laddning i ett elektriskt fält:

Det elektriska fältets potentiella energi beror på koordinaterna x, y, z och är en funktion U(x,y,z).

När du flyttar en laddning:

(x+dx), (y+dy), (z+dz).

Förändring och potentiell energi:

Från (1)

Nabla-operatör (Hamilton-operatör).

Föreläsning 2.6.

Ladda interaktionsenergi

Tänk på ett system med två punktavgifter. Interaktionsenergin kan tolkas som energin för den första laddningen i fältet för den andra (se (2.1.3))

Eftersom båda representationerna är lika, kan interaktionsenergin för dessa laddningar skrivas på följande sätt

Var - i-th punktladdning av systemet, är potentialen för fältet som skapas av alla andra laddningar i systemet, utom i-det, vid den punkt där laddningen finns.

Om avgifterna distribueras kontinuerligt, då vi representerar systemet av avgifter som en samling av elementära avgifter och fortsätter till integration, får vi uttrycket

var är energin för växelverkan mellan de elementära laddningarna i den första bollen med varandra, är energin för växelverkan mellan de elementära laddningarna i den andra bollen med varandra, är energin för växelverkan mellan de elementära laddningarna i den första bollen med elementära laddningar av den andra bollen. Energi kallas egna energier avgifter och . Energi kallas interaktionsenergi avgifter och .

Energi från en isolerad ledare och kondensator

Låt ledaren ha laddning och potential. Ledarenergi. Eftersom ledaren är ett ekvipotentialområde tas potentialen ut under integraltecknet. Till sist

Kondensatorenergi.

Låt och vara laddningen och potentialen för den positivt laddade plattan, respektive och vara den negativa plattan. Sedan energin hos kondensatorn, med hänsyn till och kommer att skrivas

Elektrisk fältenergi.

Den fysiska innebörden av energin i en kondensator är inget annat än energin från det elektriska fältet som är koncentrerat inuti den. Låt oss få ett uttryck för energin hos en platt kondensator i termer av spänning. Vi kommer att försumma kanteffekter. Låt oss använda formeln och uttrycket för kapacitansen för en platt kondensator.

Integranden här har betydelsen av energi som finns i volymen. Detta leder till en viktig idé om lokalisering av energi i själva fältet.

Detta antagande bekräftas inom området variabla fält. Det är växelfält som kan existera oberoende av de elektriska laddningarna som exciterar dem och fortplantar sig i rymden i form av elektromagnetiska vågor som överför energi.

Energibäraren är alltså själva fältet.

Genom att analysera det sista uttrycket kan vi introducera den volymetriska energitätheten, dvs. energi som finns i en volymenhet

Vi erhöll (2.6.8) och (2.6.9) i det speciella fallet med ett homogent, isotropiskt dielektrikum i ett enhetligt elektriskt fält. I detta fall är vektorerna och samriktade och kan skrivas

Superpositionsprincipen.

Om ett elektriskt fält skapat av flera laddade kroppar studeras med hjälp av en testladdning, så visar sig den resulterande kraften vara lika med den geometriska summan av krafterna som verkar på testladdningen från varje laddad kropp separat. Följaktligen är den elektriska fältstyrkan som skapas av ett system av laddningar vid en given punkt i rymden lika med vektorsumman av de elektriska fältstyrkorna som skapas vid samma punkt av laddningar separat:

Denna egenskap hos det elektriska fältet betyder att fältet lyder superpositionsprincipen. I enlighet med Coulombs lag är styrkan hos det elektrostatiska fältet som skapas av en punktladdning Q på ett avstånd r från den lika stor:

Detta fält kallas Coulomb-fält. I ett Coulomb-fält beror intensitetsvektorns riktning på tecknet för laddningen Q: om Q är större än 0 så riktas intensitetsvektorn bort från laddningen, om Q är mindre än 0 så är intensitetsvektorn riktad mot laddningen. Storleken på spänningen beror på laddningens storlek, miljön där laddningen är belägen och minskar med ökande avstånd.

Den elektriska fältstyrkan som skapas av ett laddat plan nära dess yta:

Så om problemet kräver bestämning av fältstyrkan för ett system av laddningar, måste vi fortsätta enligt följande algoritm:

1. Rita en bild.

2. Rita upp fältstyrkan för varje laddning separat vid önskad punkt. Kom ihåg att spänningen är riktad mot en negativ laddning och bort från en positiv laddning.

3. Beräkna var och en av spänningarna med hjälp av lämplig formel.

4. Lägg till spänningsvektorerna geometriskt (d.v.s. vektoriellt).

Potentiell energi för interaktion av laddningar.

Elektriska laddningar interagerar med varandra och med det elektriska fältet. Varje interaktion beskrivs av potentiell energi. Potentiell energi för interaktion mellan tvåpunkts elektriska laddningar beräknas med formeln:

Observera att avgifterna inte har några moduler. För till skillnad från laddningar har interaktionsenergin ett negativt värde. Samma formel gäller för interaktionsenergin hos likformigt laddade sfärer och kulor. Som vanligt mäts i detta fall avståndet r mellan kulornas eller sfärernas centrum. Om det inte finns två, utan fler laddningar, bör energin för deras interaktion beräknas enligt följande: dela upp laddningssystemet i alla möjliga par, beräkna interaktionsenergin för varje par och summera alla energier för alla par.

Problem i detta ämne löses, som problem med lagen om bevarande av mekanisk energi: först hittas den initiala interaktionsenergin, sedan den sista. Om problemet ber dig att hitta det arbete som gjorts för att flytta laddningar, kommer det att vara lika med skillnaden mellan den initiala och slutliga totala energin för interaktion mellan laddningar. Interaktionsenergi kan också omvandlas till kinetisk energi eller andra typer av energi. Om kropparna befinner sig på mycket stort avstånd, antas energin för deras interaktion vara lika med 0.

Observera: om problemet kräver att man hittar det minsta eller maximala avståndet mellan kroppar (partiklar) när de rör sig, kommer detta villkor att uppfyllas i det ögonblick då partiklarna rör sig i en riktning med samma hastighet. Därför måste lösningen börja med att skriva ner lagen om bevarande av momentum, från vilken denna identiska hastighet hittas. Och då bör vi skriva lagen om energibevarande, med hänsyn till partiklarnas kinetiska energi i det andra fallet.